كيف نجمع ونطرح الأعداد السالبة والموجبة.

السبت، 9 نوفمبر، 2013

طرح الأعداد الكسرية.

طرح الأعداد الكسرية.

هذا الدرس يتطرق إلى كيفية طرح عددين كسريين في حالة كانا لهما نقس المقام أو إذا كان مقام أحدهما مضاعفا للأخر أو إذا كانا لهما مقامين مختلفين. عن طريق مجموعة من الأمثلة سنتناول كيفية حساب فرق عددين كسريين و نستعرض القواعد التي تنظم طريقة الحساب :

يمكنك أيضا مراجعة درس جمع الأعداد الكسرية . 

تأكد من أنك سوف ستقوم بثلاث خطوات لحساب فرق عددين كسريين:

الخطوة الأولى : تأكد من أن هذين العددين الكسريين لهما نفس المقام.
الخطوة الثانية : لحساب الفرق، إحتفظ بالمقام الموحد لهذين العددين و إطرح بسطيهما.
الخطوة الثالثة : إختزل هذا الفرق إذا كان ذالك ممكنا.

مثال 1 : أحسب

الخطوة الأولى : للعددين نفس المقام الموحد 4
الخطوة الثانية : ، نحتفظ بالمقام الموحد و نطرح البسطين :

الخطوة الثالثة : نختزل هذا الفرق.

مثال 2 : أحسب

الخطوة الأولى : للعددين مقامين مختلفين

نحتاج إذن لتوحيد المقامين :

بالصور :

يمكنك مراجعة توحيد المقامات في هذا الدرس.
ملاحظة : نضرب البسط و المقام في نفس العدد لنحصل على كسرين متساويين ، راجع القواعد في هذا الدرس.
الأن لدينا نفس المقام الموحد ، ننتقل إلى الخطوة الثانية.
الخطوة الثانية : نحتفظ بالمقام الموحد و نطرح البسطين

بالصور :

الخطوة الثالثة : نختزل الفرق

الجمع والطرح.

كيف نجمع و نطرح الأعداد السالبة و الموجبة.

هذا الدرس يتناول كيفية حساب مجموع وفرق عددين صحيحين نسبيين و يستعرض القواعد التي تنظم حساب  الأعداد السالبة و الموجبة.

العدد الصحيح النسبي يمكن أن يكون موجبا أو سالبا :
الأعداد الموجبة هي : 1،0، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، ... وهي في حقيقة الأمر تكتب على الشكل التالي :

... (4+) = 4 ; (3+) = 3 ; (2+) = 2 ; (1+) = 1

الأعداد السالبة هي : 0، 1-، 2-، 3-، 4-، 5-، 6-، 7-، 8-، ...  و نكتبها أيضا على شكل :
                                                    ... (4-) = 4 ; (3-) = 3 ; (2-) = 2 ; (1-) = 1
أنظر إلى الصورة كيف نرتب هذه الأعداد على المستقيم المدرج:

ملاحظتين :
1. نستعمل الأقواس في الأعداد الموجبة و السالبة لتمييز الأعداد عن بعضها.
2.الصفر هو عدد موجب و سالب في نفس الوقت.

كيف نحسب مجموع عددين صحيحين نسبيين ؟
سنستعين بتقنيتين (أو طريقتين) لفهم الأمر :

طريقة 1 : بإستعمال أقراص من لونين مختلفين ( البرتقالي و الأخضر على الصور ) يتوسط أحدهما إشارة ''+'' و الأخر إشارة ''-'' نرمي بي هذه الأقراص حسب الطلب في علبة ، ثم نزيل في كل مرة قرصين من لونين مختلفين ( لا يمكن إزالة قرصين من نفس اللون).  المجموع سيكو ن بعدد و بلون الأقراص المتبقية في العلبة، مثلا إذا كان عدد الأقراص المتبقية هو '' ثلاثة أقرص برتقالية'' فالمجموع سيكون هو 3+ أما إذا كان '' خمسة أقرص خضراء'' فالمجموع هو 5-... لنرى ماذا سيحدث:

أ – مجموع عددين صحيحين نسبيين لهما نفس الإشارة 

لنفرض أننا رمينا ب 8 أقراص برتقالية و 6 أخرى أيضا برتقالية :

في هذه الحالة لا يمكننا إزالة أي قرص بحكم أن جميعها من نفس اللون و بالتالي المحموع هو 14.
نكتب :  14 = 6 + 8 أو 14+ = (6+) + (8+)
 8 أقراص خضراء و 6 خضراء:

 في هذه الحالة أيضا لا يمكننا إزالة أي قرص بحكم أن جميعها من نفس اللون و بالتالي المحموع هو 14-.
نكتب :   14- = (6-) + (8-)
ب – مجموع عددين صحيحين نسبيين مختلفي الإشارة 
 8 أقراص برتقالية و 6 خضراء:

الأقراص المتبقية : ''قرصين برتقاليين'' و بالتالي المجموع هو 2+
نكتب :  2 = 6 + (8-) أو 2+ = (6-) + (8+)

 8 أقراص خضراء و 6 برتقالية:

الأقراص المتبقية : "قرصين خضروين" و بالتالي المجموع هو 2-
نكتب :  2- = 6 + (8-) أو 2+ = (6+) + (8-) .
طريقة المستقيم المدرج :

9 = 3 + 6

9 - =  (3-) - (6-) 

 3 =  (3-) + 6 

3- = 3 + (6-)

ملاحظة : لطرح عدد صحيح نسبي من أخر نضيف إلى العدد الثاني مقابل العدد الأول.

لكن ...كيف ذلك؟

لفهم هذا الأمر، إقترح الوالدان على بنتهما الوحيدة إيمان ما يلي :
" إذا كانت إيمان لطيفة و مطيعة تحصل على 3 نقط (3+)، أما إذا كانت شقية وغير مطيعة تخصم لها 3 نقط (3-) . إذا حصلت على مجموع 30 من النقط تحصل على مكافأة من أبويها"

بدأت إيما ن يومها بشكل جيد و حصلت في الصباح على 9 نقط منحتها إياها الأم . في المساء و بحضور الأب أثناء تناول وجبة العشاء رأت الأم أن إيمان سكبت قليل من الحليب على المائدة و قامت بخصم ثلاثة نقط من التسعة ( أضافت إلى المجموع (3-) ) التى منحتها في الصباح وقامت بالحساب التالي:

6 = 3 - 9 = (3-) + 9    

إعترض الأب بقوة على الأمر وفسر ما قامت به إيمان على أنه تصرف عادي و طلب من الأم خصم (3-) التي أضافتها إلى المجموع.
راجعت الأم الحساب و قامت بكتابة ما يلي :

9 = 3 + 6 = (3-) - 6

و فازت إيمان في اليوم الأول ب 9 نقط

خلاصة : لطرح (3-) من 6 ، نضيف إلى 6 مقابل (3-). و بالتالي الكتابتين (3-) - 6 و  3 + 6 لهما نفس المعنى، أي أن :

                                                            9 = 3 + 6 = (3-) - 6.

و ماذا عن هاتين الكتابتين؟

? (3-) +6 

? (3+) - 6

في الحقيقة : (3+) - 6  =  (3-) +6

أمثلة :

 طريقة ثالثة بالإضافة إلى القواعد التي تنظم حساب مجموع وفرق عددين صحيحين نسبيين على صفحة : جمع وطرح الأعداد الصحيحة النسبية.